Teorema Sisa

Teorema Sisa

Teorema Sisa

1. Suku banyak berderajat n habis dibagi (x-a), maka sisanya adalah 0
2. Suku banyak berderajat n dibagi (x-a), maka sisanya adalah f(a)
3. Suku banyak berderajat n dibagi (ax+ b), maka sisanya adalah

Hasil bagi suku banyak f(x) oleh ax+b adalah H(x) dan sisa S, hal ini ditulis

f(x)=(ax+b)H(x)+S

untuk x==

Sisa =

Contoh :

Tentukan sisa pembagian suku banyak 2x³ – x² + 3x -1 oleh

a. x b. x-1 c. x+2 d. 2x+1

Jawab :

1. f(0) = -1
2. f(1)= 2 – 1 + 3 – 1 = 3
3. f(-2)= 2(-2)³ – (-2)² + 3(-2) – 1 = -27
4. f(- ½ )=

Latihan :

13. Tentukan sisa pembagian x³ – 6x² + 11x – 6 oleh

a. x+1 b. x-1 c. x+2 d.xX-2 e. x-3

14. Diketahui f(x) = x³ + ax² + bx – 2 . Jika Sisa pembagian f(x) oleh x+1 sama dengan sisa pembagian f(x) oleh (x-2), tentukan nilai a dan b

Suku banyak berderajat lebih dari 2 dibagi (ax²+bx + c) mempunyai sisa ax + b

Contoh 11.

Tentukan hasil bagi x³-2x²+ 4x – 3 oleh (x+1)(x-2)

Jawab :

x³-2x²+ 4x – 3 = (x+1)(x-2)H(x) + ax + b

untuk x = -1  (-1)³-2(-1)² + 4(-1) -3 = (-1+1)(-1-2)H(x)= a(-1) + b

-1 – 2 – 4 – 3= -a + b

-a+ b = -10........................................................... (1)

untuk x = 2  8 – 8 + 8 – 3 = 2a + b

2a+b= 5 ............................................................... (2)

Dengan cara eliminasi atau substitusi diperoleh a = 5 dan b = -5

Jadi Sisa pembagian x³-2x²+ 4x – 3 oleh (x+1)(x-2) adalah 5x - 5

Contoh 12.

x³ + ax + b:(x-1)(x-2) mempunyai sisa 2x+_1, tentukan a dan b

Jawab :

x³ + ax + b=(x-1)(x-2)H(x) + 2x + 1

untuk x = 1  (1)²+ a(1) + b = 2(1) + 1

a + b = 2 ………………… (1)

untuk x = 2  (2)³ + a(2) + b = 2(2) + 1

2a + b = -3 …………………..(2)

Dengan cara eliminasi atau substitusi maka diperoleh a =-5 dan b = 7

15. x¹⁰ + ax⁵ + b habis dibagi x² – 1

Jawab :

x² – 1= (x-1)(x+1)

untuk x=-1  (-1)¹⁰ + a(-1)⁵ + b = 0 (karena f(x) habis dibagi x² – 1)

a - b = -1 ……………………………………….. (1)

untuk x=1  (1)¹⁰ + a(1)⁵ + b = 0

a + b = -1 …………………………………….. (2)

Dengan cara eliminasi atau substitusi didapat a = 0 dan b=-1

15. 2x³+ x² + ax + 1 habis dibagi x²+ b, tentukan nilai a dan b

Jawab:

2x³+ x² + ax + 1 =( x²+ b) H(x)

2x³+ x² + ax + 1 =( x²+ b) (px + q)

2x³+ x² + ax + 1 =px³ + qx² + bpx + bq

p = 2 ; q = 1 ; a = bp ; bq = 1

bq = 1  b = 1

a=bp  a = 1.2  a = 2

Jadi : a =2 b=1 p = 2 q = 1

15. Tentukan nilai a dan b jika 4x³ + ax + b dibagi 2x² + 1 mempunyai sisa (x+ 1)

Jawab :

4x³ + ax + b = (2x² + 1)H(x) + (x+1)

4x³ + ax + b = (2x² + 1)(2x + q) + (x+1)

= 4x³ + 2qx² + 3x +q + 1

2q=0  q = 0 a=3 dan b= q+1  b = 1

15. H(x) dibagi (x-2) sisa 5, dan H(x) dibagi (x-3) sisa 7. Tentukan sisa pembagian f(x) oleh (x-2)(x-3)

Jawab

f(x) : x-1 sisanya 6 dan f(x) : (x-2)² sisanya 6x + 1

f(x) = (x-1)(x-2) + ax + b

f(1) = a + b = 6

f(2)= 2a + 1 = 13

Didapat a= 7 dan b = -1

15. Jika f(x) dibagi (x-1)² mempunyai sisa 2x+3. Tentukan sisa pembagian f(x) oleh (x-1)

f(1) = ( x – 1)²H(x) + 2x + 3

= 0 + 2 + 3 = 5

Sisa pembagian f(x) oleh (x-1) adalah 5

15. Jika f(x) dibagi (x-3) bersisa 2, tentukan sisa pembagian f(x)(x²+1) oleh (x-3)

Jawab :

f(x) = (x-3)H(x) + 2  f(3) = 2

15. f(x) dibagi (x²-4) mempunyai sisa 2x-2; g(x) dibagi (x-2) mempunyai sisa 5. Tentukan sisa pembagian [f(x).g(x)]² oleh (x-2)

Jawab :

f(x) = (x-4)H(x) + 2x- 2  f(2) = 2.2 – 2 = 2

g(x)= (x–3)H(x) + 5  g(2) = 5

{f(x).g(x)}³ : (x-2)  { f(2). G(2) }³ = {2 . 5}³ = 1000

15. M(x) dibagi (x-2) sisa 6; H(x) dibagi (x-1)² sisa 6x+1. Tentukan sisa pembagian M(x) oleh(x-1)(x-2)

Jawab :

f(x) = (x-1)(x-2)H(x) + ax + b

f(1) = a + b = 6

f(2) = 2a + b = 13

didapat a= 7 dan b = -1 Jadi Sisanya : 7x - -1

15. Jika f(x), g(x) habis dibagi (x+2) dan h(x)=x³-6x²-x+30 adalah KPK dari f (x) dan g(x). Tentukan nilai f(1)+g(1)=….

Jawab :

15. f(x):(x+2) sisanya 0; f(x) dibagi (x-1) sisanya 6; dan f(x) dibagi (x-2) sisanya 12. Tentukan persamaan parabola tersebut ?

27. Tentukan Tentukan sisa pembagian x² –(2y+3)x + y²+ 3y + 2 oleh
    1. (x-y-1) b. (x-y-2)

27. Tentukan faktor suku banyak 2x² +(3y-y)x + (y-1)(y-2)=0

27. Tentukan sisa pembagian x³ + ax² + bx+6 oleh x²-x – 2